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Correction

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Lorsque c'est possible, associer à chaque suite le symbole de Landau qui décrit le plus précisément son comportement à l'infini.

$\frac{\ln n}{n}$

$\frac1n+\frac1{n\ln n}$

$\frac{1}{n\ln n}$

$\frac{n}{2n^2+1}$

$\frac{n+\sqrt n}{(n+1)^2}$

$\frac1{n^2}$

$e^{-n}$

$0$

Plus d'éléments à catégoriser

$o\left(\frac1n\right)$

Déposez ici

$O\left(\frac1n\right)$

Déposez ici

$\sim \frac1n$

Déposez ici

Aucun des symboles

Déposez ici

La suite $(u_n=\frac1n)_{n\geq1}$ ne s'annule pas. Une suite $(v_n)$ vérifie donc en $+\infty$

$v_n\sim \frac1n$ si et ssi $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{v_n}{\frac1n}=\lim_{n\rightarrow+\infty}n\,v_n=1$
$v_n=o\left(\frac1n\right)$ si et ssi $\lim_{n\rightarrow+\infty}n\,v_n=0$
$v_n=O\left(\frac1n\right)$ si et ssi la suite $\left(n\,v_n\right)_{n\geq1}$ est bornée

D'où :

$\lim_{n\rightarrow+\infty}ne^{-n}=0$ , donc $e^{-n}=o\left(\frac1n\right)$ en $+\infty$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{n\ln n}=0$ , donc $\frac1{n\ln n}=o\left(\frac1n\right)$ en $+\infty$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{n}{n^2}=0$ , donc $\frac1{n^2}=o\left(\frac1n\right)$ en $+\infty$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}n\times 0=0$ , donc $0=o\left(\frac1n\right)$ en $+\infty$
pour tout $n\geq1$ , $\left\vert n\frac{n}{2n^2+1}\right\vert\leq \frac12$ , donc $\frac n{2n^2+1}=O\left(\frac1n\right)$ en $+\infty$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}n\frac{n+\sqrt n}{(n+1)^2}=1$ , donc $\frac{n+\sqrt n}{(n+1)^2}\sim \frac1n$ en $+\infty$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}n\left(\frac1n+\frac1{n^2}\right)=1$ , donc $\frac1n+\frac1{n^2}\sim n$ en $+\infty$
$\lim_{n\rightarrow+\infty}n\frac{\ln n}n=+\infty$ , donc aucun des symboles proposés ne correspond au comportement de la suite $\left(\frac{\ln n}n\right)$ en $+\infty$

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